Para resolver este problema, debemos encontrar un número [tex]\( x \)[/tex] tal que la suma de los números enteros desde 1 hasta [tex]\( x \)[/tex] sea igual a 18. La suma de los primeros [tex]\( n \)[/tex] números enteros se calcula utilizando la fórmula de la suma de una serie aritmética, que es:
[tex]\[ \text{Suma} = \frac{n(n + 1)}{2} \][/tex]
En este caso, debemos encontrar [tex]\( n \)[/tex] tal que:
[tex]\[ \frac{n(n + 1)}{2} = 18 \][/tex]
Para resolver esta ecuación, primero despejamos [tex]\( n(n + 1) \)[/tex]:
[tex]\[ n(n + 1) = 36 \][/tex]
Ahora, resolvemos la ecuación cuadrática resultante:
[tex]\[ n^2 + n - 36 = 0 \][/tex]
Usamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, que es:
[tex]\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
En nuestra ecuación, [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = 1 \)[/tex] y [tex]\( c = -36 \)[/tex]. Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:
[tex]\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-36)}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 144}}{2} \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{145}}{2} \][/tex]
Esto nos da dos soluciones:
[tex]\[ n = \frac{-1 + \sqrt{145}}{2} \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{-1 - \sqrt{145}}{2} \][/tex]
Las soluciones son:
[tex]\[ n_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{145}}{2} \][/tex]
[tex]\[ n_2 = -\frac{\sqrt{145}}{2} - \frac{1}{2} \][/tex]
Como estamos buscando un número real positivo ([tex]\( n \)[/tex] debe ser un número entero positivo), solo nos interesa la solución:
[tex]\[ n = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{145}}{2} \][/tex]
Ésta sería la respuesta para el número [tex]\( x \)[/tex] tal que la suma de los números desde 1 hasta [tex]\( x \)[/tex] sea 18.
