Find the best solutions to your problems with the help of IDNLearn.com's expert users. Discover in-depth answers to your questions from our community of experienced professionals.
Sagot :
Para encontrar os valores reais de [tex]\( x \)[/tex] para os quais as expressões [tex]\( 11x^4 - 6x^2 \)[/tex] e [tex]\( x^2 + 4 \)[/tex] são iguais, precisamos resolver a seguinte equação:
[tex]\[ 11x^4 - 6x^2 = x^2 + 4 \][/tex]
Passo 1: Reescreva a equação de modo que todos os termos estejam de um lado, deixando o outro lado igual a zero:
[tex]\[ 11x^4 - 6x^2 - x^2 - 4 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 11x^4 - 7x^2 - 4 = 0 \][/tex]
Passo 2: Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Deixe [tex]\( y = x^2 \)[/tex]. Assim, teremos:
[tex]\[ 11y^2 - 7y - 4 = 0 \][/tex]
Passo 3: Esta é uma equação quadrática na forma [tex]\( ay^2 + by + c = 0 \)[/tex]. Vamos resolvê-la utilizando a fórmula quadrática:
[tex]\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
onde [tex]\( a = 11 \)[/tex], [tex]\( b = -7 \)[/tex] e [tex]\( c = -4 \)[/tex].
Passo 4: Substitua [tex]\( a \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex] e [tex]\( c \)[/tex] na fórmula quadrática:
[tex]\[ y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-4)}}{2 \cdot 11} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 176}}{22} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{225}}{22} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{7 \pm 15}{22} \][/tex]
Passo 5: Resolva para as duas possíveis soluções de [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y_1 = \frac{7 + 15}{22} = \frac{22}{22} = 1 \][/tex]
[tex]\[ y_2 = \frac{7 - 15}{22} = \frac{-8}{22} = -\frac{4}{11} \][/tex]
Passo 6: Relembrando que [tex]\( y = x^2 \)[/tex], substitua [tex]\( y \)[/tex] de volta em [tex]\( x^2 \)[/tex]:
Para [tex]\( y_1 = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[ x = \pm 1 \][/tex]
Para [tex]\( y_2 = -\frac{4}{11} \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = -\frac{4}{11} \][/tex]
[tex]\[ x = \pm \sqrt{-\frac{4}{11}} \][/tex]
Como [tex]\( -\frac{4}{11} \)[/tex] é um número negativo, a raiz quadrada resultará em números complexos. Contudo, como a questão pede apenas pelos valores reais de [tex]\( x \)[/tex], podemos desconsiderar esta solução complexa.
Portanto, os valores reais de [tex]\( x \)[/tex] para os quais as expressões são iguais são:
[tex]\[ x = -1 \text{ e } x = 1 \][/tex]
[tex]\[ 11x^4 - 6x^2 = x^2 + 4 \][/tex]
Passo 1: Reescreva a equação de modo que todos os termos estejam de um lado, deixando o outro lado igual a zero:
[tex]\[ 11x^4 - 6x^2 - x^2 - 4 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 11x^4 - 7x^2 - 4 = 0 \][/tex]
Passo 2: Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Deixe [tex]\( y = x^2 \)[/tex]. Assim, teremos:
[tex]\[ 11y^2 - 7y - 4 = 0 \][/tex]
Passo 3: Esta é uma equação quadrática na forma [tex]\( ay^2 + by + c = 0 \)[/tex]. Vamos resolvê-la utilizando a fórmula quadrática:
[tex]\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
onde [tex]\( a = 11 \)[/tex], [tex]\( b = -7 \)[/tex] e [tex]\( c = -4 \)[/tex].
Passo 4: Substitua [tex]\( a \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex] e [tex]\( c \)[/tex] na fórmula quadrática:
[tex]\[ y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-4)}}{2 \cdot 11} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 176}}{22} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{225}}{22} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{7 \pm 15}{22} \][/tex]
Passo 5: Resolva para as duas possíveis soluções de [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y_1 = \frac{7 + 15}{22} = \frac{22}{22} = 1 \][/tex]
[tex]\[ y_2 = \frac{7 - 15}{22} = \frac{-8}{22} = -\frac{4}{11} \][/tex]
Passo 6: Relembrando que [tex]\( y = x^2 \)[/tex], substitua [tex]\( y \)[/tex] de volta em [tex]\( x^2 \)[/tex]:
Para [tex]\( y_1 = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[ x = \pm 1 \][/tex]
Para [tex]\( y_2 = -\frac{4}{11} \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = -\frac{4}{11} \][/tex]
[tex]\[ x = \pm \sqrt{-\frac{4}{11}} \][/tex]
Como [tex]\( -\frac{4}{11} \)[/tex] é um número negativo, a raiz quadrada resultará em números complexos. Contudo, como a questão pede apenas pelos valores reais de [tex]\( x \)[/tex], podemos desconsiderar esta solução complexa.
Portanto, os valores reais de [tex]\( x \)[/tex] para os quais as expressões são iguais são:
[tex]\[ x = -1 \text{ e } x = 1 \][/tex]
We appreciate your participation in this forum. Keep exploring, asking questions, and sharing your insights with the community. Together, we can find the best solutions. Find reliable answers at IDNLearn.com. Thanks for stopping by, and come back for more trustworthy solutions.
