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8. Rocío sale en bici desde la plaza hacia un pueblo cercano a una velocidad constante de 3 m/s. Sabiendo que la plaza está a 6 m de su casa:

a) Halla la ecuación de la recta que nos da la distancia [tex]\( y \)[/tex] (en metros) a la que está Rocío de su casa al cabo de un tiempo [tex]\( x \)[/tex] (en segundos).

b) Represéntala gráficamente.

c) ¿Cuál sería la distancia al cabo de 10 segundos?

Sagot :

GinnyAnsweridn
¡Claro! Vamos a resolver el ejercicio paso a paso.

### a) Hallar la ecuación de la recta

Para determinar la ecuación que nos da la distancia [tex]\( y \)[/tex] en metros a la que está Rocío de su casa después de [tex]\( x \)[/tex] segundos, tomemos en cuenta los datos proporcionados:

- La plaza está a 6 metros de su casa.
- Rocío se mueve a una velocidad constante de 3 metros por segundo.

La distancia desde su casa después de [tex]\( x \)[/tex] segundos puede expresarse mediante una ecuación de la forma:
[tex]\[ y = y_0 + v \cdot x \][/tex]

donde
- [tex]\( y_0 \)[/tex] es la distancia inicial desde su casa (en este caso, 6 metros),
- [tex]\( v \)[/tex] es la velocidad (en este caso, 3 metros por segundo),
- [tex]\( x \)[/tex] es el tiempo en segundos.

Sustituyendo los valores dados tenemos:
[tex]\[ y = 6 + 3x \][/tex]

### b) Representación gráfica

Para representar gráficamente esta ecuación, consideremos algunos puntos clave:

- Cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex] (al inicio), la distancia [tex]\( y \)[/tex] es 6 metros.
- Cuando [tex]\( x = 5 \)[/tex] segundos, la distancia [tex]\( y \)[/tex] es:
[tex]\[ y = 6 + 3 \cdot 5 = 21 \ \text{metros} \][/tex]
- Cuando [tex]\( x = 10 \)[/tex] segundos, la distancia [tex]\( y \)[/tex] es:
[tex]\[ y = 6 + 3 \cdot 10 = 36 \ \text{metros} \][/tex]

Podemos continuar calculando más puntos y luego dibujar la línea que pasa a través de estos puntos.

Ejes:
- Eje [tex]\( x \)[/tex]: tiempo en segundos.
- Eje [tex]\( y \)[/tex]: distancia desde su casa en metros.

Puntos a usar:
- (0, 6)
- (5, 21)
- (10, 36)
- (15, 51)
- (20, 66)

### c) Calcular la distancia después de 10 segundos

Usamos la ecuación que hemos hallado:
[tex]\[ y = 6 + 3x \][/tex]

Para [tex]\( x = 10 \)[/tex] segundos:
[tex]\[ y = 6 + 3 \cdot 10 \][/tex]
[tex]\[ y = 6 + 30 \][/tex]
[tex]\[ y = 36 \ \text{metros} \][/tex]

Entonces, la distancia de Rocío de su casa después de 10 segundos es de 36 metros.

### Resumen:

1. Ecuación de la recta:
[tex]\[ y = 6 + 3x \][/tex]
2. Representación gráfica:
- Dibuja el gráfico con los puntos clave calculados arriba.
3. Distancia después de 10 segundos:
[tex]\[ y = 36 \ \text{metros} \][/tex]
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