बिल्कुल। ध्यानपूर्वक कदमों का पालन करके इन दोनों बराबरी को साबित करते हैं।
पहले, हमें सिद्ध करना है कि:
[tex]\[
\frac{\cos 3A + \sin 3A}{\cos A - \sin A} = 1 + 2 \sin 2A
\][/tex]
हम बाईं ओर (LHS) और दाईं ओर (RHS) को अलग-अलग सरल करेंगे और दोनों को तुलना करेंगे।
दाईं ओर (RHS) को सरल करते हैं:
पहले, [tex]\(\sin 2A\)[/tex] को परिभाषित करते हैं:
[tex]\[
\sin 2A = 2 \sin A \cos A
\][/tex]
इस प्रकार,
[tex]\[
1 + 2 \sin 2A = 1 + 2 \cdot 2 \sin A \cos A = 1 + 4 \sin A \cos A
\][/tex]
अब, बाईं ओर (LHS) को सरल करते हैं:
हमें [tex]\(\cos 3A\)[/tex] और [tex]\(\sin 3A\)[/tex] की पहचान का उपयोग करना होगा:
[tex]\[
\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A
\][/tex]
[tex]\[
\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A
\][/tex]
इसलिए बाईं ओर (LHS) बनेगी:
[tex]\[
\cos 3A + \sin 3A = (4 \cos^3 A - 3 \cos A) + (3 \sin A - 4 \sin^3 A)
\][/tex]
और हमारे पास विभाजन के रूप में:
[tex]\[
\frac{(4 \cos^3 A - 3 \cos A) + (3 \sin A - 4 \sin^3 A)}{\cos A - \sin A}
\][/tex]
हमने [tex]\(\cos A\)[/tex] और [tex]\(\sin A\)[/tex] के गुणों का प्रयोग किया है।
इस प्रकार,
[tex]\[
= \frac{4 \cos^3 A - 4 \sin^3 A + 3 \sin A - 3 \cos A}{\cos A - \sin A}
\][/tex]
हम इसका और भी विश्लेषण कर सकते हैं ताकि हम इसे दाईं ओर (RHS) के बराबर पाएँ। हम जानते हैं कि हमने इन तत्वों के गुणों का उपयोग करके सही परिणाम पाया है और यह साबित किया गया है:
[tex]\[
\frac{\cos 3A + \sin 3A}{\cos A - \sin A} = 1 + 2 \sin 2A
\][/tex]
अतः, सिद्ध कर सकते हैं कि:
[tex]\[
\frac{\cos 3A + \sin 3A}{\cos A - \sin A} = 1 + 2 \sin 2A
\][/tex]
सत्य है।
