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Sagot :
Claro, vamos a resolver las siguientes funciones y determinar sus dominios de definición:
a. [tex]\( f + g \)[/tex]
b. [tex]\( g - h \)[/tex]
c. [tex]\( (f + h) \cdot j \)[/tex]
d. [tex]\( \frac{1}{f} \)[/tex]
e. [tex]\( \frac{g}{h} \)[/tex]
f. [tex]\( \frac{h}{g} \)[/tex]
Sean las funciones:
[tex]\[ \begin{array}{ll} f(x)=\frac{x-1}{x+3} & g(x)=\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \\ h(x)=\sqrt{x-1} & j(x)=\frac{1-\sqrt{x^3}}{x^2+1} \end{array} \][/tex]
### a. [tex]\( f + g \)[/tex]
Primero calculamos [tex]\( f(x) + g(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3}, \quad g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \][/tex]
El primer paso es buscar un denominador común:
[tex]\[ (x + 3)(x^2 - 4) \][/tex]
Reescribimos las fracciones con este común denominador:
[tex]\[ f(x) = \frac{(x-1)(x^2 - 4)}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{x^3 - x - 4x + 4}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{x^3 - 5x + 4}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
[tex]\[ g(x) = \frac{(2 + \sqrt{x})(x + 3)}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{2x + 6 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x}}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ f(x) + g(x) = \frac{(x^3 - 5x + 4) + (2x + 6 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x})}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ f(x) + g(x) = \frac{x^3 - 3x + 10 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x}}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Para determinar el dominio, consideramos los casos donde el denominador es cero o la función es indefinida. Hay tres restricciones a considerar:
1. [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] (para [tex]\( f(x) \)[/tex])
2. [tex]\( x^2 - 4 \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex] (para [tex]\( g(x) \)[/tex])
El dominio de [tex]\( f(x) + g(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ D_{f+g} = \mathbb{R} - \{-3, 2, -2\} \][/tex]
### b. [tex]\( g - h \)[/tex]
Calculamos [tex]\( g(x) - h(x) \)[/tex]:
[tex]\[ g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
El resultado requiere evaluar con un denominador común, pero la clave es determinar el dominio.
1. [tex]\( g(x) \)[/tex] ya tiene restricciones [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex]
2. [tex]\( h(x) \)[/tex] requiere [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
Las restricciones combinadas son:
[tex]\[ D_{g-h} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
### c. [tex]\( (f + h) \cdot j \)[/tex]
Primero sumamos [tex]\( f(x) \)[/tex] y [tex]\( h(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
Para el producto con [tex]\( j(x) \)[/tex]:
[tex]\[ j(x) = \frac{1-\sqrt{x^3}}{x^2+1} \][/tex]
El dominio de [tex]\( f(x) + h(x) \)[/tex]:
1. [tex]\( f(x) \)[/tex] tiene [tex]\( x \neq -3 \)[/tex]
2. [tex]\( h(x) \)[/tex] requiere [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
Multiplicado por [tex]\( j(x) \)[/tex]:
1. [tex]\( j(x) \)[/tex] tiene restricciones solo para evitar división por cero, [tex]\( x^2 + 1 > 0 \)[/tex] siempre.
2. El dominio restringido es [tex]\( x \geq 1 \)[/tex] y [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] (ya está excluido).
[tex]\[ D_{(f+h) \cdot j} = \mathbb{R} - \{-3, 1\} \][/tex]
### d. [tex]\( \frac{1}{f} \)[/tex]
Para calcular:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3} \][/tex]
[tex]\[ \frac{1}{f(x)} = \frac{x+3}{x-1} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] para que [tex]\( f(x) \neq 0 \)[/tex], lo que ya está impuesto.
2. [tex]\( x \neq 1 \)[/tex] porque haría el denominador cero.
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{1}{f}} = \mathbb{R} - \{-3, 1\} \][/tex]
### e. [tex]\( \frac{g}{h} \)[/tex]
Calculamos [tex]\( \frac{g(x)}{h(x)} \)[/tex]:
[tex]\[ g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
[tex]\[ \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}}{\sqrt{x-1}} = \frac{2+\sqrt{x}}{(x^2-4)\sqrt{x-1}} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex] para [tex]\( g(x) \)[/tex]
2. [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] para [tex]\( h(x) \)[/tex]
3. [tex]\( \sqrt{x-1} \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq 1 \)[/tex]
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{g}{h}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
### f. [tex]\( \frac{h}{g} \)[/tex]
Calculamos [tex]\( \frac{h(x)}{g(x)} \)[/tex]:
[tex]\[ h(x) = \sqrt{x-1}, \quad g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \][/tex]
[tex]\[ \frac{h(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x-1}}{\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}} = \frac{(x^2-4)\sqrt{x-1}}{2+\sqrt{x}} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( g(x) \neq 0 \)[/tex] y [tex]\( x^2 - 4 \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex]
2. [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] para [tex]\( h(x) \)[/tex] -> [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
3. [tex]\( 2 + \sqrt{x} \neq 0 \)[/tex] (siempre positivo)
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{h}{g}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
a. [tex]\( f + g \)[/tex]
b. [tex]\( g - h \)[/tex]
c. [tex]\( (f + h) \cdot j \)[/tex]
d. [tex]\( \frac{1}{f} \)[/tex]
e. [tex]\( \frac{g}{h} \)[/tex]
f. [tex]\( \frac{h}{g} \)[/tex]
Sean las funciones:
[tex]\[ \begin{array}{ll} f(x)=\frac{x-1}{x+3} & g(x)=\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \\ h(x)=\sqrt{x-1} & j(x)=\frac{1-\sqrt{x^3}}{x^2+1} \end{array} \][/tex]
### a. [tex]\( f + g \)[/tex]
Primero calculamos [tex]\( f(x) + g(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3}, \quad g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \][/tex]
El primer paso es buscar un denominador común:
[tex]\[ (x + 3)(x^2 - 4) \][/tex]
Reescribimos las fracciones con este común denominador:
[tex]\[ f(x) = \frac{(x-1)(x^2 - 4)}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{x^3 - x - 4x + 4}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{x^3 - 5x + 4}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
[tex]\[ g(x) = \frac{(2 + \sqrt{x})(x + 3)}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{2x + 6 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x}}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ f(x) + g(x) = \frac{(x^3 - 5x + 4) + (2x + 6 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x})}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ f(x) + g(x) = \frac{x^3 - 3x + 10 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x}}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Para determinar el dominio, consideramos los casos donde el denominador es cero o la función es indefinida. Hay tres restricciones a considerar:
1. [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] (para [tex]\( f(x) \)[/tex])
2. [tex]\( x^2 - 4 \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex] (para [tex]\( g(x) \)[/tex])
El dominio de [tex]\( f(x) + g(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ D_{f+g} = \mathbb{R} - \{-3, 2, -2\} \][/tex]
### b. [tex]\( g - h \)[/tex]
Calculamos [tex]\( g(x) - h(x) \)[/tex]:
[tex]\[ g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
El resultado requiere evaluar con un denominador común, pero la clave es determinar el dominio.
1. [tex]\( g(x) \)[/tex] ya tiene restricciones [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex]
2. [tex]\( h(x) \)[/tex] requiere [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
Las restricciones combinadas son:
[tex]\[ D_{g-h} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
### c. [tex]\( (f + h) \cdot j \)[/tex]
Primero sumamos [tex]\( f(x) \)[/tex] y [tex]\( h(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
Para el producto con [tex]\( j(x) \)[/tex]:
[tex]\[ j(x) = \frac{1-\sqrt{x^3}}{x^2+1} \][/tex]
El dominio de [tex]\( f(x) + h(x) \)[/tex]:
1. [tex]\( f(x) \)[/tex] tiene [tex]\( x \neq -3 \)[/tex]
2. [tex]\( h(x) \)[/tex] requiere [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
Multiplicado por [tex]\( j(x) \)[/tex]:
1. [tex]\( j(x) \)[/tex] tiene restricciones solo para evitar división por cero, [tex]\( x^2 + 1 > 0 \)[/tex] siempre.
2. El dominio restringido es [tex]\( x \geq 1 \)[/tex] y [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] (ya está excluido).
[tex]\[ D_{(f+h) \cdot j} = \mathbb{R} - \{-3, 1\} \][/tex]
### d. [tex]\( \frac{1}{f} \)[/tex]
Para calcular:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3} \][/tex]
[tex]\[ \frac{1}{f(x)} = \frac{x+3}{x-1} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] para que [tex]\( f(x) \neq 0 \)[/tex], lo que ya está impuesto.
2. [tex]\( x \neq 1 \)[/tex] porque haría el denominador cero.
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{1}{f}} = \mathbb{R} - \{-3, 1\} \][/tex]
### e. [tex]\( \frac{g}{h} \)[/tex]
Calculamos [tex]\( \frac{g(x)}{h(x)} \)[/tex]:
[tex]\[ g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
[tex]\[ \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}}{\sqrt{x-1}} = \frac{2+\sqrt{x}}{(x^2-4)\sqrt{x-1}} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex] para [tex]\( g(x) \)[/tex]
2. [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] para [tex]\( h(x) \)[/tex]
3. [tex]\( \sqrt{x-1} \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq 1 \)[/tex]
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{g}{h}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
### f. [tex]\( \frac{h}{g} \)[/tex]
Calculamos [tex]\( \frac{h(x)}{g(x)} \)[/tex]:
[tex]\[ h(x) = \sqrt{x-1}, \quad g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \][/tex]
[tex]\[ \frac{h(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x-1}}{\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}} = \frac{(x^2-4)\sqrt{x-1}}{2+\sqrt{x}} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( g(x) \neq 0 \)[/tex] y [tex]\( x^2 - 4 \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex]
2. [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] para [tex]\( h(x) \)[/tex] -> [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
3. [tex]\( 2 + \sqrt{x} \neq 0 \)[/tex] (siempre positivo)
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{h}{g}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
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