IDNLearn.com provides a user-friendly platform for finding and sharing accurate answers. Our experts provide prompt and accurate answers to help you make informed decisions on any topic.
Sagot :
Claro, vamos a resolver las siguientes funciones y determinar sus dominios de definición:
a. [tex]\( f + g \)[/tex]
b. [tex]\( g - h \)[/tex]
c. [tex]\( (f + h) \cdot j \)[/tex]
d. [tex]\( \frac{1}{f} \)[/tex]
e. [tex]\( \frac{g}{h} \)[/tex]
f. [tex]\( \frac{h}{g} \)[/tex]
Sean las funciones:
[tex]\[ \begin{array}{ll} f(x)=\frac{x-1}{x+3} & g(x)=\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \\ h(x)=\sqrt{x-1} & j(x)=\frac{1-\sqrt{x^3}}{x^2+1} \end{array} \][/tex]
### a. [tex]\( f + g \)[/tex]
Primero calculamos [tex]\( f(x) + g(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3}, \quad g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \][/tex]
El primer paso es buscar un denominador común:
[tex]\[ (x + 3)(x^2 - 4) \][/tex]
Reescribimos las fracciones con este común denominador:
[tex]\[ f(x) = \frac{(x-1)(x^2 - 4)}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{x^3 - x - 4x + 4}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{x^3 - 5x + 4}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
[tex]\[ g(x) = \frac{(2 + \sqrt{x})(x + 3)}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{2x + 6 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x}}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ f(x) + g(x) = \frac{(x^3 - 5x + 4) + (2x + 6 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x})}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ f(x) + g(x) = \frac{x^3 - 3x + 10 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x}}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Para determinar el dominio, consideramos los casos donde el denominador es cero o la función es indefinida. Hay tres restricciones a considerar:
1. [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] (para [tex]\( f(x) \)[/tex])
2. [tex]\( x^2 - 4 \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex] (para [tex]\( g(x) \)[/tex])
El dominio de [tex]\( f(x) + g(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ D_{f+g} = \mathbb{R} - \{-3, 2, -2\} \][/tex]
### b. [tex]\( g - h \)[/tex]
Calculamos [tex]\( g(x) - h(x) \)[/tex]:
[tex]\[ g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
El resultado requiere evaluar con un denominador común, pero la clave es determinar el dominio.
1. [tex]\( g(x) \)[/tex] ya tiene restricciones [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex]
2. [tex]\( h(x) \)[/tex] requiere [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
Las restricciones combinadas son:
[tex]\[ D_{g-h} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
### c. [tex]\( (f + h) \cdot j \)[/tex]
Primero sumamos [tex]\( f(x) \)[/tex] y [tex]\( h(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
Para el producto con [tex]\( j(x) \)[/tex]:
[tex]\[ j(x) = \frac{1-\sqrt{x^3}}{x^2+1} \][/tex]
El dominio de [tex]\( f(x) + h(x) \)[/tex]:
1. [tex]\( f(x) \)[/tex] tiene [tex]\( x \neq -3 \)[/tex]
2. [tex]\( h(x) \)[/tex] requiere [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
Multiplicado por [tex]\( j(x) \)[/tex]:
1. [tex]\( j(x) \)[/tex] tiene restricciones solo para evitar división por cero, [tex]\( x^2 + 1 > 0 \)[/tex] siempre.
2. El dominio restringido es [tex]\( x \geq 1 \)[/tex] y [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] (ya está excluido).
[tex]\[ D_{(f+h) \cdot j} = \mathbb{R} - \{-3, 1\} \][/tex]
### d. [tex]\( \frac{1}{f} \)[/tex]
Para calcular:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3} \][/tex]
[tex]\[ \frac{1}{f(x)} = \frac{x+3}{x-1} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] para que [tex]\( f(x) \neq 0 \)[/tex], lo que ya está impuesto.
2. [tex]\( x \neq 1 \)[/tex] porque haría el denominador cero.
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{1}{f}} = \mathbb{R} - \{-3, 1\} \][/tex]
### e. [tex]\( \frac{g}{h} \)[/tex]
Calculamos [tex]\( \frac{g(x)}{h(x)} \)[/tex]:
[tex]\[ g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
[tex]\[ \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}}{\sqrt{x-1}} = \frac{2+\sqrt{x}}{(x^2-4)\sqrt{x-1}} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex] para [tex]\( g(x) \)[/tex]
2. [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] para [tex]\( h(x) \)[/tex]
3. [tex]\( \sqrt{x-1} \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq 1 \)[/tex]
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{g}{h}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
### f. [tex]\( \frac{h}{g} \)[/tex]
Calculamos [tex]\( \frac{h(x)}{g(x)} \)[/tex]:
[tex]\[ h(x) = \sqrt{x-1}, \quad g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \][/tex]
[tex]\[ \frac{h(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x-1}}{\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}} = \frac{(x^2-4)\sqrt{x-1}}{2+\sqrt{x}} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( g(x) \neq 0 \)[/tex] y [tex]\( x^2 - 4 \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex]
2. [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] para [tex]\( h(x) \)[/tex] -> [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
3. [tex]\( 2 + \sqrt{x} \neq 0 \)[/tex] (siempre positivo)
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{h}{g}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
a. [tex]\( f + g \)[/tex]
b. [tex]\( g - h \)[/tex]
c. [tex]\( (f + h) \cdot j \)[/tex]
d. [tex]\( \frac{1}{f} \)[/tex]
e. [tex]\( \frac{g}{h} \)[/tex]
f. [tex]\( \frac{h}{g} \)[/tex]
Sean las funciones:
[tex]\[ \begin{array}{ll} f(x)=\frac{x-1}{x+3} & g(x)=\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \\ h(x)=\sqrt{x-1} & j(x)=\frac{1-\sqrt{x^3}}{x^2+1} \end{array} \][/tex]
### a. [tex]\( f + g \)[/tex]
Primero calculamos [tex]\( f(x) + g(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3}, \quad g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \][/tex]
El primer paso es buscar un denominador común:
[tex]\[ (x + 3)(x^2 - 4) \][/tex]
Reescribimos las fracciones con este común denominador:
[tex]\[ f(x) = \frac{(x-1)(x^2 - 4)}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{x^3 - x - 4x + 4}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{x^3 - 5x + 4}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
[tex]\[ g(x) = \frac{(2 + \sqrt{x})(x + 3)}{(x+3)(x^2 - 4)} = \frac{2x + 6 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x}}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Sumamos las fracciones:
[tex]\[ f(x) + g(x) = \frac{(x^3 - 5x + 4) + (2x + 6 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x})}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ f(x) + g(x) = \frac{x^3 - 3x + 10 + \sqrt{x}x + 3\sqrt{x}}{(x+3)(x^2 - 4)} \][/tex]
Para determinar el dominio, consideramos los casos donde el denominador es cero o la función es indefinida. Hay tres restricciones a considerar:
1. [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] (para [tex]\( f(x) \)[/tex])
2. [tex]\( x^2 - 4 \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex] (para [tex]\( g(x) \)[/tex])
El dominio de [tex]\( f(x) + g(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ D_{f+g} = \mathbb{R} - \{-3, 2, -2\} \][/tex]
### b. [tex]\( g - h \)[/tex]
Calculamos [tex]\( g(x) - h(x) \)[/tex]:
[tex]\[ g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
El resultado requiere evaluar con un denominador común, pero la clave es determinar el dominio.
1. [tex]\( g(x) \)[/tex] ya tiene restricciones [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex]
2. [tex]\( h(x) \)[/tex] requiere [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
Las restricciones combinadas son:
[tex]\[ D_{g-h} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
### c. [tex]\( (f + h) \cdot j \)[/tex]
Primero sumamos [tex]\( f(x) \)[/tex] y [tex]\( h(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
Para el producto con [tex]\( j(x) \)[/tex]:
[tex]\[ j(x) = \frac{1-\sqrt{x^3}}{x^2+1} \][/tex]
El dominio de [tex]\( f(x) + h(x) \)[/tex]:
1. [tex]\( f(x) \)[/tex] tiene [tex]\( x \neq -3 \)[/tex]
2. [tex]\( h(x) \)[/tex] requiere [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
Multiplicado por [tex]\( j(x) \)[/tex]:
1. [tex]\( j(x) \)[/tex] tiene restricciones solo para evitar división por cero, [tex]\( x^2 + 1 > 0 \)[/tex] siempre.
2. El dominio restringido es [tex]\( x \geq 1 \)[/tex] y [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] (ya está excluido).
[tex]\[ D_{(f+h) \cdot j} = \mathbb{R} - \{-3, 1\} \][/tex]
### d. [tex]\( \frac{1}{f} \)[/tex]
Para calcular:
[tex]\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3} \][/tex]
[tex]\[ \frac{1}{f(x)} = \frac{x+3}{x-1} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( x \neq -3 \)[/tex] para que [tex]\( f(x) \neq 0 \)[/tex], lo que ya está impuesto.
2. [tex]\( x \neq 1 \)[/tex] porque haría el denominador cero.
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{1}{f}} = \mathbb{R} - \{-3, 1\} \][/tex]
### e. [tex]\( \frac{g}{h} \)[/tex]
Calculamos [tex]\( \frac{g(x)}{h(x)} \)[/tex]:
[tex]\[ g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}, \quad h(x) = \sqrt{x-1} \][/tex]
[tex]\[ \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}}{\sqrt{x-1}} = \frac{2+\sqrt{x}}{(x^2-4)\sqrt{x-1}} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex] para [tex]\( g(x) \)[/tex]
2. [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] para [tex]\( h(x) \)[/tex]
3. [tex]\( \sqrt{x-1} \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq 1 \)[/tex]
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{g}{h}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
### f. [tex]\( \frac{h}{g} \)[/tex]
Calculamos [tex]\( \frac{h(x)}{g(x)} \)[/tex]:
[tex]\[ h(x) = \sqrt{x-1}, \quad g(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4} \][/tex]
[tex]\[ \frac{h(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x-1}}{\frac{2+\sqrt{x}}{x^2-4}} = \frac{(x^2-4)\sqrt{x-1}}{2+\sqrt{x}} \][/tex]
Restricciones:
1. [tex]\( g(x) \neq 0 \)[/tex] y [tex]\( x^2 - 4 \neq 0 \)[/tex] -> [tex]\( x \neq \pm 2 \)[/tex]
2. [tex]\( x - 1 \geq 0 \)[/tex] para [tex]\( h(x) \)[/tex] -> [tex]\( x \geq 1 \)[/tex]
3. [tex]\( 2 + \sqrt{x} \neq 0 \)[/tex] (siempre positivo)
El dominio es:
[tex]\[ D_{\frac{h}{g}} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1, x \neq 2\} \][/tex]
Thank you for joining our conversation. Don't hesitate to return anytime to find answers to your questions. Let's continue sharing knowledge and experiences! Your questions deserve accurate answers. Thank you for visiting IDNLearn.com, and see you again for more solutions.
