Para determinar los términos que faltan y convertir cada expresión en un trinomio cuadrado perfecto, haremos lo siguiente:
1. Primera Expresión: [tex]\( x^2 + 4ax + \square \)[/tex]
Tenemos que encontrar el término que nos falta para que sea un trinomio cuadrado perfecto. El término es igual al cuadrado de la mitad del coeficiente de [tex]\(x\)[/tex].
[tex]\[
\left( \frac{4a}{2} \right)^2 = (2a)^2 = 4a^2
\][/tex]
Entonces, la expresión completa es:
[tex]\[
x^2 + 4ax + 16a^2
\][/tex]
El término que falta es [tex]\( 64 \)[/tex] (dado [tex]\( a = 4 \)[/tex]).
2. Segunda Expresión: [tex]\( \frac{9}{49}t^2 - \frac{12}{35}tw + \square \)[/tex]
Nuevamente, necesitamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de [tex]\(tw\)[/tex]:
[tex]\[
\left( \frac{-\frac{12}{35}}{2} \right)^2 = \left( \frac{-6}{35} \right)^2 = \frac{36}{1225}
\][/tex]
Entonces, la expresión completa es:
[tex]\[
\frac{9}{49}t^2 - \frac{12}{35}tw + \frac{36}{1225}
\][/tex]
El término que falta es [tex]\( 0.02938775510204082 \)[/tex].
3. Tercera Expresión: [tex]\( \square + 56zw + 196z^2 \)[/tex]
Para esta expresión, buscamos completar el trinomio cuadrado perfecto con el término que agrega el cuadrado del binomio correspondiente.
[tex]\[
(2\sqrt{56zw})^2 = 224zw
\][/tex]
Entonces, la expresión completa será:
[tex]\[
28zw + 196z^2 + 224zw
\][/tex]
El término que falta es [tex]\( 224zw \)[/tex].
4. Cuarta Expresión: [tex]\( x^2 - \square 24xy + 144y^2 \)[/tex]
Aquí, necesitamos completar el trinomio cuadrado perfecto:
[tex]\[
((\frac{24}{2})y)^2 = (12y)^2 = 144y^2
\][/tex]
Entonces, la expresión completa será:
[tex]\[
x^2 - 24xy + 144y^2
\][/tex]
El término que falta es [tex]\( 144y^2 \)[/tex].
5. Quinta Expresión: [tex]\( \square -70pq + 25q^2 \)[/tex]
Buscamos completar el trinomio cuadrado perfecto:
[tex]\[
(2\sqrt{70pq})^2 = 280pq
\][/tex]
Entonces, la expresión completa será:
[tex]\[
70pq + 25q^2 - 280pq
\][/tex]
El término que falta es [tex]\( 280pq \)[/tex].
6. Sexta Expresión: [tex]\( \square + 81 \)[/tex]
La expresión ya es un cuadrado perfecto, pues [tex]\( 81 \)[/tex] es el cuadrado de [tex]\( 9 \)[/tex].
Entonces, no falta ningún término adicional:
[tex]\[
81 = 81
\][/tex]
El término a añadir en cada caso para obtener un trinomio cuadrado perfecto es:
- [tex]\( 64 \)[/tex]
- [tex]\( 0.02938775510204082 \)[/tex]
- [tex]\( 224zw \)[/tex]
- [tex]\( 144y^2 \)[/tex]
- [tex]\( 280pq \)[/tex]
- y el [tex]\( 81 \)[/tex] no requiere término adicional.
