Claro, vamos a resolver estas operaciones combinadas paso a paso.
### Ejercicio 1
[tex]\[
\frac{2 a}{a^2-3 a+2}+\frac{a+4}{a^2-4}-\frac{3-2 a}{a^2-a-2}
\][/tex]
Los denominadores pueden factorizarse como sigue:
- [tex]\( a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2) \)[/tex]
- [tex]\( a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2) \)[/tex]
- [tex]\( a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1) \)[/tex]
Reemplazando las factorizaciones:
[tex]\[
\frac{2 a}{(a - 1)(a - 2)} + \frac{a + 4}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{3 - 2a}{(a - 2)(a + 1)}
\][/tex]
El denominador común para todos los términos es [tex]\((a - 1)(a - 2)(a + 2)(a + 1)\)[/tex].
Reescribiendo cada fracción con el denominador común:
[tex]\[
\frac{2a (a + 2) (a + 1) - (a + 4) (a - 1) (a + 1) - (3 - 2a) (a - 1) (a + 2)}{(a - 1)(a - 2)(a + 2)(a + 1)}
\][/tex]
Simplificando y combinando los términos, llegamos al resultado:
[tex]\[
\frac{5a^3 + 9a^2 - 4a + 2}{a^4 - 5a^2 + 4}
\][/tex]
### Ejercicio 2
[tex]\[
\frac{1}{x^2-2 x-3}-\frac{2}{x+3}+\frac{x}{2 x-6}
\][/tex]
Los denominadores pueden factorizarse como sigue:
- [tex]\( x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \)[/tex]
- [tex]\( 2x - 6 = 2(x - 3) \)[/tex]
Reemplazando las factorizaciones:
[tex]\[
\frac{1}{(x - 3)(x + 1)} - \frac{2}{x + 3} + \frac{x}{2(x - 3)}
\][/tex]
El denominador común para estos términos es [tex]\( 2(x - 3)(x + 1)(x + 3) \)[/tex].
Reescribiendo cada fracción con el denominador común:
[tex]\[
\frac{2 (x + 3) - 2 (x - 3) - x (x + 1)}{2 (x - 3) (x + 1) (x + 3)}
\][/tex]
Simplificando y combinando los términos, obtenemos:
[tex]\[
\frac{x^3 + 13x + 18}{2(x^3 + x^2 - 9x - 9)}
\][/tex]
### Ejercicio 3
[tex]\[
\frac{1}{r s}-\frac{1}{r^2+r s}+\frac{1}{r+s}-\frac{2}{r^2-s^2}
\][/tex]
Los denominadores pueden reescribirse de la siguiente manera:
- [tex]\( r^2 + rs = r(r + s) \)[/tex]
- [tex]\( r^2 - s^2 = (r - s)(r + s) \)[/tex]
Reemplazando estas factorizaciones:
[tex]\[
\frac{1}{r s} - \frac{1}{r (r + s)} + \frac{1}{r + s} - \frac{2}{(r - s)(r + s)}
\][/tex]
El denominador común para todos los términos es [tex]\( rs(r + s)(r - s) \)[/tex].
Reescribiendo cada fracción con el denominador común:
[tex]\[
\frac{(r + s)(r - s) - s(r - s) + r s (r + s) - 2 r s}{rs(r + s)(r - s)}
\][/tex]
Simplificando y combinando los términos, llegamos a:
[tex]\[
\frac{r(s + r) - s^2 - 3s}{s(r^2 - s^2)}
\][/tex]
Finalmente obtenemos el resultado:
[tex]\[
\frac{r s + r - s^2 - 3 s}{s (r^2 - s^2)}
\][/tex]
Estos son los resultados simplificados de cada expresión combinada.
