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Sagot :
D'accord, allons-y étape par étape pour résoudre chacun des points de la question posée.
### 1. Étudier la position relative de la courbe [tex]\( (C_f) \)[/tex] par rapport à la droite [tex]\( y = 0 \)[/tex] (ou l'axe des abscisses)
Pour examiner la position relative de la courbe [tex]\( (C_f) \)[/tex] par rapport à l'axe des abscisses, nous devons examiner le signe de [tex]\( f(x) \)[/tex]. La fonction donnée est :
[tex]\[ f(x) = -3 - \ln(x) + 2(\ln(x))^2 \][/tex]
La forme simplifiée de cette fonction est :
[tex]\[ f(x) = 2(\ln(x))^2 - \ln(x) - 3 \][/tex]
Pour déterminer où la fonction est positive ou négative, on résout :
[tex]\[ 2(\ln(x))^2 - \ln(x) - 3 = 0 \][/tex]
En trouvant les racines de cette équation quadratique, nous pouvons analyser les changements de signes et déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est positive ou négative.
### 2. Étudier les variations de la fonction [tex]\( f \)[/tex] puis dresser son tableau de variations
Pour étudier les variations de la fonction, nous calculons la dérivée de [tex]\( f \)[/tex] :
[tex]\[ f'(x) = \frac{4\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} \][/tex]
Nous simplifions cette dérivée pour trouver les valeurs critiques, c'est-à-dire les valeurs de [tex]\( x \)[/tex] pour lesquelles [tex]\( f'(x) = 0 \)[/tex] :
[tex]\[ \frac{4\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 4\ln(x) = 1 \Rightarrow \ln(x) = \frac{1}{4} \Rightarrow x = e^{1/4} \][/tex]
Ensuite, nous vérifions le signe de [tex]\( f'(x) \)[/tex] de chaque côté de cette valeur critique [tex]\( x = e^{1/4} \)[/tex] pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de [tex]\( f \)[/tex].
### 3. Déterminer une équation de la tangente [tex]\( (T) \)[/tex] à la courbe [tex]\( (C_f) \)[/tex] au point d'abscisse [tex]\( e^{5/4} \)[/tex]
Pour déterminer la tangente à la courbe [tex]\( (C_f) \)[/tex] au point d'abscisse [tex]\( x = e^{5/4} \)[/tex], nous calculons la pente de la courbe à ce point en utilisant la dérivée :
[tex]\[ f'(e^{5/4}) = 1.14601918744076 \][/tex]
Nous calculons également la valeur de la fonction en [tex]\( x = e^{5/4} \)[/tex] pour trouver le point de tangence :
[tex]\[ f(e^{5/4}) = -3 - \frac{5}{4} + 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 = -0.625 \][/tex]
L'équation de la tangente prend la forme [tex]\( y = mx + b \)[/tex], où [tex]\( m \)[/tex] est la pente et [tex]\( b \)[/tex] est l'ordonnée à l'origine. Nous avons :
[tex]\[ y = 1.14601918744076 x - 5.125 \][/tex]
### 4. Fonction [tex]\( g \)[/tex] et ses dérivées
#### 4.1 Calcul de [tex]\( g'(x) \)[/tex] et [tex]\( g''(x) \)[/tex]
Pour la fonction [tex]\( g \)[/tex]:
[tex]\[ g(x) = 2(\ln(x))^2 - \ln(x) - 4e^{-5/4} x + \frac{17}{8} \][/tex]
Nous trouvons sa dérivée première :
[tex]\[ g'(x) = \frac{-1 + 4\ln(x)}{x} - 4e^{-5/4} \][/tex]
Nous trouvons la dérivée seconde :
[tex]\[ g''(x) = \frac{-4\ln(x)}{x^2} + \frac{5}{x^2} \][/tex]
#### 4.2 Étudier le sens de variation de [tex]\( g' \)[/tex] et en déduire son signe
Pour étudier le sens de variation de [tex]\( g' \)[/tex], nous regardons le signe de [tex]\( g''(x) \)[/tex]:
- Si [tex]\( g''(x) > 0 \)[/tex], [tex]\( g' \)[/tex] est croissante.
- Si [tex]\( g''(x) < 0 \)[/tex], [tex]\( g' \)[/tex] est décroissante.
Nous analysons:
[tex]\[ g''(x) = \frac{-4\ln(x) + 5}{x^2} \][/tex]
Cela nous indique que la fonction [tex]\( g'(x) \)[/tex] change de signe en fonction de la valeur de [tex]\( \ln(x) \)[/tex].
#### 4.3 Calcul de [tex]\( g(e^{5/4}) \)[/tex] et signe de [tex]\( g \)[/tex] sur [tex]\( ]0, +\infty[ \)[/tex]
Nous évaluons [tex]\( g \)[/tex] en [tex]\( x = e^{5/4} \)[/tex]:
[tex]\[ g(e^{5/4}) = 0 \][/tex]
Pour déterminer le signe de [tex]\( g \)[/tex], nous devons vérifier les signes sur les intervalles correspondants.
### 4.4 Position relative de [tex]\( (C_f) \)[/tex] par rapport à la droite [tex]\( (T) \)[/tex]
Étant donné que [tex]\( g(e^{5/4}) = 0 \)[/tex], nous devons examiner les valeurs de [tex]\( f \)[/tex] pour voir où elles se situent par rapport à la tangente.
### 5. Tracer la courbe [tex]\( (C) \)[/tex] et la droite [tex]\( (T) \)[/tex]
Pour tracer la courbe [tex]\( (C_f) \)[/tex] et la tangente [tex]\( (T) \)[/tex], nous pouvons utiliser les équations trouvées pour visualiser leurs placements respectifs.
### 1. Étudier la position relative de la courbe [tex]\( (C_f) \)[/tex] par rapport à la droite [tex]\( y = 0 \)[/tex] (ou l'axe des abscisses)
Pour examiner la position relative de la courbe [tex]\( (C_f) \)[/tex] par rapport à l'axe des abscisses, nous devons examiner le signe de [tex]\( f(x) \)[/tex]. La fonction donnée est :
[tex]\[ f(x) = -3 - \ln(x) + 2(\ln(x))^2 \][/tex]
La forme simplifiée de cette fonction est :
[tex]\[ f(x) = 2(\ln(x))^2 - \ln(x) - 3 \][/tex]
Pour déterminer où la fonction est positive ou négative, on résout :
[tex]\[ 2(\ln(x))^2 - \ln(x) - 3 = 0 \][/tex]
En trouvant les racines de cette équation quadratique, nous pouvons analyser les changements de signes et déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est positive ou négative.
### 2. Étudier les variations de la fonction [tex]\( f \)[/tex] puis dresser son tableau de variations
Pour étudier les variations de la fonction, nous calculons la dérivée de [tex]\( f \)[/tex] :
[tex]\[ f'(x) = \frac{4\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} \][/tex]
Nous simplifions cette dérivée pour trouver les valeurs critiques, c'est-à-dire les valeurs de [tex]\( x \)[/tex] pour lesquelles [tex]\( f'(x) = 0 \)[/tex] :
[tex]\[ \frac{4\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 4\ln(x) = 1 \Rightarrow \ln(x) = \frac{1}{4} \Rightarrow x = e^{1/4} \][/tex]
Ensuite, nous vérifions le signe de [tex]\( f'(x) \)[/tex] de chaque côté de cette valeur critique [tex]\( x = e^{1/4} \)[/tex] pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de [tex]\( f \)[/tex].
### 3. Déterminer une équation de la tangente [tex]\( (T) \)[/tex] à la courbe [tex]\( (C_f) \)[/tex] au point d'abscisse [tex]\( e^{5/4} \)[/tex]
Pour déterminer la tangente à la courbe [tex]\( (C_f) \)[/tex] au point d'abscisse [tex]\( x = e^{5/4} \)[/tex], nous calculons la pente de la courbe à ce point en utilisant la dérivée :
[tex]\[ f'(e^{5/4}) = 1.14601918744076 \][/tex]
Nous calculons également la valeur de la fonction en [tex]\( x = e^{5/4} \)[/tex] pour trouver le point de tangence :
[tex]\[ f(e^{5/4}) = -3 - \frac{5}{4} + 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 = -0.625 \][/tex]
L'équation de la tangente prend la forme [tex]\( y = mx + b \)[/tex], où [tex]\( m \)[/tex] est la pente et [tex]\( b \)[/tex] est l'ordonnée à l'origine. Nous avons :
[tex]\[ y = 1.14601918744076 x - 5.125 \][/tex]
### 4. Fonction [tex]\( g \)[/tex] et ses dérivées
#### 4.1 Calcul de [tex]\( g'(x) \)[/tex] et [tex]\( g''(x) \)[/tex]
Pour la fonction [tex]\( g \)[/tex]:
[tex]\[ g(x) = 2(\ln(x))^2 - \ln(x) - 4e^{-5/4} x + \frac{17}{8} \][/tex]
Nous trouvons sa dérivée première :
[tex]\[ g'(x) = \frac{-1 + 4\ln(x)}{x} - 4e^{-5/4} \][/tex]
Nous trouvons la dérivée seconde :
[tex]\[ g''(x) = \frac{-4\ln(x)}{x^2} + \frac{5}{x^2} \][/tex]
#### 4.2 Étudier le sens de variation de [tex]\( g' \)[/tex] et en déduire son signe
Pour étudier le sens de variation de [tex]\( g' \)[/tex], nous regardons le signe de [tex]\( g''(x) \)[/tex]:
- Si [tex]\( g''(x) > 0 \)[/tex], [tex]\( g' \)[/tex] est croissante.
- Si [tex]\( g''(x) < 0 \)[/tex], [tex]\( g' \)[/tex] est décroissante.
Nous analysons:
[tex]\[ g''(x) = \frac{-4\ln(x) + 5}{x^2} \][/tex]
Cela nous indique que la fonction [tex]\( g'(x) \)[/tex] change de signe en fonction de la valeur de [tex]\( \ln(x) \)[/tex].
#### 4.3 Calcul de [tex]\( g(e^{5/4}) \)[/tex] et signe de [tex]\( g \)[/tex] sur [tex]\( ]0, +\infty[ \)[/tex]
Nous évaluons [tex]\( g \)[/tex] en [tex]\( x = e^{5/4} \)[/tex]:
[tex]\[ g(e^{5/4}) = 0 \][/tex]
Pour déterminer le signe de [tex]\( g \)[/tex], nous devons vérifier les signes sur les intervalles correspondants.
### 4.4 Position relative de [tex]\( (C_f) \)[/tex] par rapport à la droite [tex]\( (T) \)[/tex]
Étant donné que [tex]\( g(e^{5/4}) = 0 \)[/tex], nous devons examiner les valeurs de [tex]\( f \)[/tex] pour voir où elles se situent par rapport à la tangente.
### 5. Tracer la courbe [tex]\( (C) \)[/tex] et la droite [tex]\( (T) \)[/tex]
Pour tracer la courbe [tex]\( (C_f) \)[/tex] et la tangente [tex]\( (T) \)[/tex], nous pouvons utiliser les équations trouvées pour visualiser leurs placements respectifs.
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