Claro, vamos a resolver los problemas planteados paso a paso:
### Problema 1
(c) Para cuáles valores de [tex]\( x \)[/tex] es [tex]\( f(x) = 2 \)[/tex]?
Para encontrar los valores de [tex]\( x \)[/tex] tales que [tex]\( f(x) = 2 \)[/tex], debemos resolver la ecuación [tex]\( x^3 = 2 \)[/tex]. Los valores de [tex]\( x \)[/tex] que satisfacen esta ecuación son:
[tex]\[ x = \sqrt[3]{2}, \quad x = -\frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i}{2}, \quad x = -\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i}{2} \][/tex]
donde [tex]\( i \)[/tex] es la unidad imaginaria.
(d) Estime los valores de [tex]\( x \)[/tex] tales que [tex]\( f(x) = 0 \)[/tex].
Para encontrar los valores de [tex]\( x \)[/tex] tales que [tex]\( f(x) = 0 \)[/tex], debemos resolver la ecuación [tex]\( x^3 = 0 \)[/tex]. El único valor de [tex]\( x \)[/tex] que satisface esta ecuación es:
[tex]\[ x = 0 \][/tex]
(e) Enuncie el dominio y rango de [tex]\( f \)[/tex].
Para la función [tex]\( f(x) = x^3 \)[/tex]:
- Dominio: Todos los números reales, ya que no hay restricciones sobre los valores que puede tomar [tex]\( x \)[/tex].
- Rango: Todos los números reales, ya que la función cúbica puede generar cualquier valor real.
Entonces, el dominio y el rango de [tex]\( f \)[/tex] son:
- Dominio: [tex]\(\text{Todos los números reales}\)[/tex]
- Rango: [tex]\(\text{Todos los números reales}\)[/tex]
### Problema 2
Si [tex]\( f(x) = x^3 \)[/tex], evalúe el cociente de diferencia [tex]\( \frac{f(2+h) - f(2)}{h} \)[/tex] y simplifique su respuesta.
Primero, calculemos [tex]\( f(2+h) \)[/tex] y [tex]\( f(2) \)[/tex]:
[tex]\[ f(2+h) = (2+h)^3 \][/tex]
[tex]\[ f(2) = 2^3 = 8 \][/tex]
Entonces, el cociente de diferencia es:
[tex]\[ \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(2+h)^3 - 8}{h} \][/tex]
Para simplificarlo:
[tex]\[ \frac{(2+h)^3 - 8}{h} \][/tex]
Este cociente de diferencia puede ser simplificado al mantener su forma original:
[tex]\[ \frac{(2 + h)^3 - 8}{h} \][/tex]
### Problema 3
Determine el dominio de cada función.
Para la función [tex]\( f(x) = x^3 \)[/tex]:
El dominio de [tex]\( f(x) \)[/tex] es todos los números reales, ya que no hay restricciones para los valores de [tex]\( x \)[/tex].
Entonces, el dominio de [tex]\( f \)[/tex] es:
- [tex]\(\text{Todos los números reales}\)[/tex]
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Para concluir, hemos determinado para qué valores de [tex]\( x \)[/tex] se cumplen ciertas condiciones para [tex]\( f(x) \)[/tex], enunciamos el dominio y rango de la función, evaluamos y simplificamos el cociente de diferencia, y determinamos el dominio de la función [tex]\( f(x) = x^3 \)[/tex].
