¡Claro! Para encontrar la ecuación de la recta [tex]\( l_2 \)[/tex] que pasa por el punto [tex]\( (3, -4) \)[/tex] y es paralela a la recta [tex]\( 3x - 2y + 5 = 0 \)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Determinar la pendiente de la recta [tex]\( l_1 \)[/tex]:
La ecuación de [tex]\( l_1 \)[/tex] es [tex]\( 3x - 2y + 5 = 0 \)[/tex]. Primero, reescribamos esta ecuación en la forma pendiente-intercepto [tex]\( y = mx + b \)[/tex]:
[tex]\[
3x - 2y + 5 = 0
\][/tex]
[tex]\[
-2y = -3x - 5
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}
\][/tex]
La pendiente ([tex]\( m_1 \)[/tex]) de la recta [tex]\( l_1 \)[/tex] es [tex]\( \frac{3}{2} \)[/tex].
2. Determinar la pendiente de la recta [tex]\( l_2 \)[/tex]:
Dado que [tex]\( l_2 \)[/tex] es paralela a [tex]\( l_1 \)[/tex], ambas rectas tienen la misma pendiente. Así, la pendiente ([tex]\( m_2 \)[/tex]) de [tex]\( l_2 \)[/tex] también es [tex]\( \frac{3}{2} \)[/tex].
3. Usar la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación de [tex]\( l_2 \)[/tex]:
La forma punto-pendiente de la ecuación de una recta es [tex]\( y - y_1 = m(x - x_1) \)[/tex], donde [tex]\( (x_1, y_1) \)[/tex] es el punto por el cual pasa la recta y [tex]\( m \)[/tex] es la pendiente.
Sustituyendo [tex]\( m = \frac{3}{2} \)[/tex] y [tex]\( (x_1, y_1) = (3, -4) \)[/tex]:
[tex]\[
y - (-4) = \frac{3}{2}(x - 3)
\][/tex]
[tex]\[
y + 4 = \frac{3}{2}(x - 3)
\][/tex]
4. Simplificar para obtener la ecuación en forma [tex]\( Ax + By + C = 0 \)[/tex]:
Desarrollamos la ecuación:
[tex]\[
y + 4 = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}
\][/tex]
[tex]\[
y + 4 = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}
\][/tex]
Restamos 4 de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} - 4
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{3}{2}x - \frac{9}{2} - \frac{8}{2}
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{3}{2}x - \frac{17}{2}
\][/tex]
Luego, para escribir la ecuación en la forma general [tex]\( Ax + By + C = 0 \)[/tex], multiplicamos todo por 2 para eliminar los denominadores:
[tex]\[
2y = 3x - 17
\][/tex]
[tex]\[
3x - 2y - 17 = 0
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación de la recta [tex]\( l_2 \)[/tex] que pasa por el punto [tex]\( (3, -4) \)[/tex] y es paralela a la recta [tex]\( 3x - 2y + 5 = 0 \)[/tex] es:
[tex]\[
3x - 2y - 17 = 0
\][/tex]
