Para resolver el problema y encontrar el valor de [tex]\( a^3 + b^3 \)[/tex] dados los valores [tex]\( a + b = 1 \)[/tex] y [tex]\( a^2 + b^2 = 2 \)[/tex], podemos seguir estos pasos:
1. Vamos a usar la identidad conocida para la suma de cuadrados de dos números:
[tex]\[ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab. \][/tex]
2. Sustituyendo los valores dados:
[tex]\[ (a + b)^2 = 1^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[ a^2 + b^2 = 2. \][/tex]
3. Entonces,
[tex]\[ 1 = 2 + 2ab. \][/tex]
4. Despejamos para [tex]\( ab \)[/tex]:
[tex]\[ 1 = 2 + 2ab \][/tex]
[tex]\[ 1 - 2 = 2ab \][/tex]
[tex]\[ -1 = 2ab \][/tex]
[tex]\[ ab = -\frac{1}{2}. \][/tex]
5. Ahora usamos la identidad para la suma de cubos de dos números:
[tex]\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). \][/tex]
6. Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ a + b = 1 \][/tex]
[tex]\[ a^2 + b^2 = 2 \][/tex]
[tex]\[ ab = -\frac{1}{2}. \][/tex]
7. Sustituimos estos valores en la identidad:
[tex]\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab). \][/tex]
8. Continuamos con la sustitución:
[tex]\[ a^3 + b^3 = 1 \left(2 - \left(-\frac{1}{2}\right) \right). \][/tex]
9. Simplificamos dentro del paréntesis:
[tex]\[ a^3 + b^3 = 1 \left(2 + \frac{1}{2}\right). \][/tex]
10. Sumamos los términos dentro del paréntesis:
[tex]\[ a^3 + b^3 = 1 \left(2.5\right). \][/tex]
11. Finalmente obtenemos:
[tex]\[ a^3 + b^3 = 2.5. \][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( a^3 + b^3 \)[/tex] es [tex]\( 2.5 \)[/tex].
