Para determinar la ecuación general de la parábola que pasa por los puntos [tex]\(A(0, 0)\)[/tex], [tex]\(B(5, -5)\)[/tex] y [tex]\(C(10, 0)\)[/tex], y que tiene el eje de simetría paralelo al eje [tex]\(X\)[/tex], comenzamos asumiendo la forma general de la parábola. Cuando el eje de simetría es paralelo al eje [tex]\(X\)[/tex], la ecuación general de la parábola puede expresarse en la forma:
[tex]\[ y = ax^2 + bx + c \][/tex]
Tenemos tres puntos que deben satisfacer esta ecuación: [tex]\(A\)[/tex], [tex]\(B\)[/tex] y [tex]\(C\)[/tex]. Esto nos da tres ecuaciones para resolver el sistema y encontrar los valores de [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex].
1. Para el punto [tex]\(A(0, 0)\)[/tex]:
[tex]\[ 0 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \][/tex]
[tex]\[ 0 = c \][/tex]
Así que [tex]\(c = 0\)[/tex].
2. Para el punto [tex]\(B(5, -5)\)[/tex]:
[tex]\[ -5 = a \cdot 5^2 + b \cdot 5 + c \][/tex]
Dado que [tex]\(c = 0\)[/tex], esto se simplifica a:
[tex]\[ -5 = 25a + 5b \][/tex]
3. Para el punto [tex]\(C(10, 0)\)[/tex]:
[tex]\[ 0 = a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c \][/tex]
De nuevo, como [tex]\(c = 0\)[/tex], se simplifica a:
[tex]\[ 0 = 100a + 10b \][/tex]
Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:
1. [tex]\( 25a + 5b = -5 \)[/tex]
2. [tex]\( 100a + 10b = 0 \)[/tex]
Podemos resolver este sistema de ecuaciones. Empezamos simplificando la segunda ecuación dividiéndola por 10:
[tex]\[ 10a + b = 0 \][/tex]
De esta ecuación, podemos expresar [tex]\(b\)[/tex] en términos de [tex]\(a\)[/tex]:
[tex]\[ b = -10a \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(b\)[/tex] en la primera ecuación:
[tex]\[ 25a + 5(-10a) = -5 \][/tex]
[tex]\[ 25a - 50a = -5 \][/tex]
[tex]\[ -25a = -5 \][/tex]
[tex]\[ a = \frac{-5}{-25} \][/tex]
[tex]\[ a = \frac{1}{5} \][/tex]
Ahora que tenemos [tex]\(a\)[/tex], podemos encontrar [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ b = -10a = -10 \cdot \frac{1}{5} = -2 \][/tex]
Entonces, tenemos:
[tex]\[ a = \frac{1}{5} \][/tex]
[tex]\[ b = -2 \][/tex]
[tex]\[ c = 0 \][/tex]
Sustituyendo estos valores en la ecuación general de la parábola:
[tex]\[ y = \frac{1}{5}x^2 - 2x + 0 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{1}{5}x^2 - 2x \][/tex]
Por lo tanto, la ecuación correcta es:
[tex]\[ y = \frac{1}{5}x^2 - 2x \][/tex]
La opción correcta es:
I. [tex]\( \frac{1}{5}x^2 - 2x = y \)[/tex]
