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Sagot :
Para determinar el coeficiente independiente de la ecuación general de una circunferencia con centro en [tex]\( C(-4, -1) \)[/tex] que es tangente a la recta [tex]\( 3x - 2y - 12 = 0 \)[/tex], debemos seguir estos pasos detalladamente:
1. Identificar el centro de la circunferencia y la ecuación de la recta:
- Centro de la circunferencia: [tex]\( C(h, k) = (-4, -1) \)[/tex].
- Ecuación de la recta: [tex]\( 3x - 2y - 12 = 0 \)[/tex].
2. Calcular el radio de la circunferencia:
Para esto, usaremos la fórmula de la distancia desde un punto a una recta. El radio es la distancia desde el centro de la circunferencia hasta la recta.
La fórmula de la distancia desde un punto [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] a una recta [tex]\( Ax + By + C = 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{distancia} = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \][/tex]
Sustituimos los valores:
- [tex]\( A = 3 \)[/tex]
- [tex]\( B = -2 \)[/tex]
- [tex]\( C = -12 \)[/tex]
- [tex]\( x_1 = -4 \)[/tex]
- [tex]\( y_1 = -1 \)[/tex]
Primero, calculamos el numerador:
[tex]\[ |A(-4) + B(-1) + C| = |3(-4) + (-2)(-1) - 12| = |-12 + 2 - 12| = | -22 | = 22 \][/tex]
Luego, calculamos el denominador:
[tex]\[ \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.605551275463989 \][/tex]
Entonces, la distancia (radio) es:
[tex]\[ \frac{22}{\sqrt{13}} \approx 6.10170215847752 \][/tex]
3. Determinar la ecuación general de la circunferencia:
La ecuación estándar de una circunferencia con centro en [tex]\((h, k)\)[/tex] y radio [tex]\( r \)[/tex] es:
[tex]\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \][/tex]
Sustituimos [tex]\( h = -4 \)[/tex], [tex]\( k = -1 \)[/tex], y [tex]\( r \approx 6.10170215847752 \)[/tex]:
[tex]\[ (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = (6.10170215847752)^2 \][/tex]
Calculamos [tex]\( r^2 \)[/tex]:
[tex]\[ r^2 \approx 37.23076923076923 \][/tex]
4. Expresión expandida de la circunferencia en forma general:
Al expandir la ecuación:
[tex]\[ (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 37.23076923076923 \][/tex]
Se expande a:
[tex]\[ x^2 + 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = 37.23076923076923 \][/tex]
Combinando términos similares:
[tex]\[ x^2 + y^2 + 8x + 2y + 17 = 37.23076923076923 \][/tex]
Finalmente, transponemos el término 37.23076923076923 al lado izquierdo para tener la forma general de la circunferencia:
[tex]\[ x^2 + y^2 + 8x + 2y + 17 - 37.23076923076923 = 0 \][/tex]
Simplificamos el término constante:
[tex]\[ x^2 + y^2 + 8x + 2y - 20.230769230769234 = 0 \][/tex]
5. Determinar el coeficiente independiente:
El coeficiente independiente es el término constante de la ecuación general de la circunferencia.
Por lo tanto, el coeficiente independiente es:
[tex]\[ -20.230769230769234 \][/tex]
1. Identificar el centro de la circunferencia y la ecuación de la recta:
- Centro de la circunferencia: [tex]\( C(h, k) = (-4, -1) \)[/tex].
- Ecuación de la recta: [tex]\( 3x - 2y - 12 = 0 \)[/tex].
2. Calcular el radio de la circunferencia:
Para esto, usaremos la fórmula de la distancia desde un punto a una recta. El radio es la distancia desde el centro de la circunferencia hasta la recta.
La fórmula de la distancia desde un punto [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] a una recta [tex]\( Ax + By + C = 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{distancia} = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \][/tex]
Sustituimos los valores:
- [tex]\( A = 3 \)[/tex]
- [tex]\( B = -2 \)[/tex]
- [tex]\( C = -12 \)[/tex]
- [tex]\( x_1 = -4 \)[/tex]
- [tex]\( y_1 = -1 \)[/tex]
Primero, calculamos el numerador:
[tex]\[ |A(-4) + B(-1) + C| = |3(-4) + (-2)(-1) - 12| = |-12 + 2 - 12| = | -22 | = 22 \][/tex]
Luego, calculamos el denominador:
[tex]\[ \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.605551275463989 \][/tex]
Entonces, la distancia (radio) es:
[tex]\[ \frac{22}{\sqrt{13}} \approx 6.10170215847752 \][/tex]
3. Determinar la ecuación general de la circunferencia:
La ecuación estándar de una circunferencia con centro en [tex]\((h, k)\)[/tex] y radio [tex]\( r \)[/tex] es:
[tex]\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \][/tex]
Sustituimos [tex]\( h = -4 \)[/tex], [tex]\( k = -1 \)[/tex], y [tex]\( r \approx 6.10170215847752 \)[/tex]:
[tex]\[ (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = (6.10170215847752)^2 \][/tex]
Calculamos [tex]\( r^2 \)[/tex]:
[tex]\[ r^2 \approx 37.23076923076923 \][/tex]
4. Expresión expandida de la circunferencia en forma general:
Al expandir la ecuación:
[tex]\[ (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 37.23076923076923 \][/tex]
Se expande a:
[tex]\[ x^2 + 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = 37.23076923076923 \][/tex]
Combinando términos similares:
[tex]\[ x^2 + y^2 + 8x + 2y + 17 = 37.23076923076923 \][/tex]
Finalmente, transponemos el término 37.23076923076923 al lado izquierdo para tener la forma general de la circunferencia:
[tex]\[ x^2 + y^2 + 8x + 2y + 17 - 37.23076923076923 = 0 \][/tex]
Simplificamos el término constante:
[tex]\[ x^2 + y^2 + 8x + 2y - 20.230769230769234 = 0 \][/tex]
5. Determinar el coeficiente independiente:
El coeficiente independiente es el término constante de la ecuación general de la circunferencia.
Por lo tanto, el coeficiente independiente es:
[tex]\[ -20.230769230769234 \][/tex]
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