Claro, resolveremos el sistema de ecuaciones lineales por el método de reducción (también conocido como eliminación). Aquí tienes los pasos:
### Sistema Original
[tex]\[
\left\{
\begin{array}{l}
5x - y = 3 \quad \text{(Ecuación 1)} \\
-2x + 4y = -12 \quad \text{(Ecuación 2)}
\end{array}
\right.
\][/tex]
### Paso 1: Igualar los Coeficientes
Queremos eliminar una de las variables sumando o restando las ecuaciones. Notamos que el coeficiente de [tex]\( y \)[/tex] en la Ecuación 2 es 4 y en la Ecuación 1 es -1. Si multiplicamos la Ecuación 1 por 4, los coeficientes de [tex]\( y \)[/tex] serán opuestos, permitiendo que se cancelen al sumar.
Multiplicamos la Ecuación 1 por 4:
[tex]\[
4(5x - y) = 4(3) \\
20x - 4y = 12 \quad \text{(Ecuación 3)}
\][/tex]
Ahora tenemos:
[tex]\[
\left\{
\begin{array}{l}
20x - 4y = 12 \quad \text{(Ecuación 3)} \\
-2x + 4y = -12 \quad \text{(Ecuación 2)}
\end{array}
\right.
\][/tex]
### Paso 2: Sumar las Ecuaciones
Sumamos las ecuaciones (Ecuación 3) y (Ecuación 2) para eliminar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
(20x - 4y) + (-2x + 4y) = 12 + (-12) \\
20x - 4y - 2x + 4y = 0 \\
18x = 0 \\
x = 0
\][/tex]
### Paso 3: Sustituir el valor de [tex]\( x \)[/tex] en una de las ecuaciones
Sustituimos [tex]\( x = 0 \)[/tex] en la Ecuación 1 para encontrar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
5(0) - y = 3 \\
-y = 3 \\
y = -3
\][/tex]
### Solución del Sistema
La solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[
x = 0, \ y = -3
\][/tex]
### Verificación
Para asegurarnos que nuestra solución es correcta, sustituimos [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] de nuevo en las ecuaciones originales:
1. En la Ecuación 1:
[tex]\[
5(0) - (-3) = 3 \\
0 + 3 = 3 \quad \text{(Verdadero)}
\][/tex]
2. En la Ecuación 2:
[tex]\[
-2(0) + 4(-3) = -12 \\
0 - 12 = -12 \quad \text{(Verdadero)}
\][/tex]
La verificación confirma que nuestros valores de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] son correctos.
Por lo tanto, la solución del sistema es:
[tex]\[
x = 0, \ y = -3
\][/tex]
