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Sagot :
Para resolver esta pregunta, necesitamos comparar la cantidad de numerales de 3 cifras y la cantidad de numerales capicúas de 3 cifras en un sistema de numeración de base [tex]\( b \)[/tex]. Vamos a detallar cada paso del proceso:
### 1. Número de Numerales de 3 Cifras en un Sistema de Base [tex]\( b \)[/tex]
Un numeral de 3 cifras en cualquier sistema de base [tex]\( b \)[/tex] está compuesto por tres posiciones: la centena, la decena y la unidad. En un sistema posicional como estos:
- La cifra más significativa (la centena) no puede ser cero y puede tomar cualquier valor de 1 a [tex]\( b-1 \)[/tex]. Por lo tanto, hay [tex]\( (b-1) \)[/tex] opciones para esta cifra.
- Las otras dos cifras (la decena y la unidad) pueden tomar cualquier valor entre 0 y [tex]\( b-1 \)[/tex]. Esto genera [tex]\( b \)[/tex] opciones para cada una de estas dos posiciones.
Entonces, el total de numerales de 3 cifras en un sistema de base [tex]\( b \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{Numerales de 3 cifras} = (b-1) \cdot b \cdot b = (b-1) \cdot b^2. \][/tex]
### 2. Número de Numerales Capicúas de 3 Cifras en una Base [tex]\( b \)[/tex]
Un numeral capicúa de 3 cifras tiene la forma [tex]\( aba \)[/tex], donde:
- La cifra más significativa (primera cifra y tercera cifra) no puede ser cero y debe ser igual. Por lo tanto, hay [tex]\( (b-1) \)[/tex] opciones para esta cifra.
- La cifra central puede tomar cualquier valor entre 0 y [tex]\( b-1 \)[/tex], lo que proporciona [tex]\( b \)[/tex] opciones.
Entonces, la cantidad de numerales capicúas de 3 cifras en una base [tex]\( b \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{Numerales capicúas de 3 cifras} = (b-1) \cdot b. \][/tex]
### 3. Planteo de la Ecuación
Se nos dice que la cantidad de numerales de 3 cifras excede en 80 a la cantidad de numerales capicúas de 3 cifras. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación:
[tex]\[ (b-1) \cdot b^2 - (b-1) \cdot b = 80. \][/tex]
### 4. Simplificación de la Ecuación
Podemos factorizar el término común [tex]\((b-1) \cdot b\)[/tex]:
[tex]\[ (b-1) \cdot b (b - 1) \cdot b - (b-1) \cdot b = 80. \][/tex]
[tex]\[ (b - 1)^2 \cdot b - (b - 1) \cdot b = 80. \][/tex]
[tex]\[ (b - 1)^2 \cdot b = 80. \][/tex]
### 5. Resolución de la Ecuación
Procedemos a resolver para [tex]\( b \)[/tex]:
Lamentablemente, ningún valor entero de [tex]\( b \)[/tex] resuelve esta ecuación, ya que no se obtiene una solución válida para bases numéricas superiores o iguales a 5. Así que, al final, no hay ningún sistema de numeración (desde la base 5 en adelante) en el que la cantidad de numerales de 3 cifras exceda en 80 a la cantidad de numerales capicúas de 3 cifras.
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[ \boxed{\text{Ninguna de las anteriores}}. \][/tex]
### 1. Número de Numerales de 3 Cifras en un Sistema de Base [tex]\( b \)[/tex]
Un numeral de 3 cifras en cualquier sistema de base [tex]\( b \)[/tex] está compuesto por tres posiciones: la centena, la decena y la unidad. En un sistema posicional como estos:
- La cifra más significativa (la centena) no puede ser cero y puede tomar cualquier valor de 1 a [tex]\( b-1 \)[/tex]. Por lo tanto, hay [tex]\( (b-1) \)[/tex] opciones para esta cifra.
- Las otras dos cifras (la decena y la unidad) pueden tomar cualquier valor entre 0 y [tex]\( b-1 \)[/tex]. Esto genera [tex]\( b \)[/tex] opciones para cada una de estas dos posiciones.
Entonces, el total de numerales de 3 cifras en un sistema de base [tex]\( b \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{Numerales de 3 cifras} = (b-1) \cdot b \cdot b = (b-1) \cdot b^2. \][/tex]
### 2. Número de Numerales Capicúas de 3 Cifras en una Base [tex]\( b \)[/tex]
Un numeral capicúa de 3 cifras tiene la forma [tex]\( aba \)[/tex], donde:
- La cifra más significativa (primera cifra y tercera cifra) no puede ser cero y debe ser igual. Por lo tanto, hay [tex]\( (b-1) \)[/tex] opciones para esta cifra.
- La cifra central puede tomar cualquier valor entre 0 y [tex]\( b-1 \)[/tex], lo que proporciona [tex]\( b \)[/tex] opciones.
Entonces, la cantidad de numerales capicúas de 3 cifras en una base [tex]\( b \)[/tex] es:
[tex]\[ \text{Numerales capicúas de 3 cifras} = (b-1) \cdot b. \][/tex]
### 3. Planteo de la Ecuación
Se nos dice que la cantidad de numerales de 3 cifras excede en 80 a la cantidad de numerales capicúas de 3 cifras. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación:
[tex]\[ (b-1) \cdot b^2 - (b-1) \cdot b = 80. \][/tex]
### 4. Simplificación de la Ecuación
Podemos factorizar el término común [tex]\((b-1) \cdot b\)[/tex]:
[tex]\[ (b-1) \cdot b (b - 1) \cdot b - (b-1) \cdot b = 80. \][/tex]
[tex]\[ (b - 1)^2 \cdot b - (b - 1) \cdot b = 80. \][/tex]
[tex]\[ (b - 1)^2 \cdot b = 80. \][/tex]
### 5. Resolución de la Ecuación
Procedemos a resolver para [tex]\( b \)[/tex]:
Lamentablemente, ningún valor entero de [tex]\( b \)[/tex] resuelve esta ecuación, ya que no se obtiene una solución válida para bases numéricas superiores o iguales a 5. Así que, al final, no hay ningún sistema de numeración (desde la base 5 en adelante) en el que la cantidad de numerales de 3 cifras exceda en 80 a la cantidad de numerales capicúas de 3 cifras.
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[ \boxed{\text{Ninguna de las anteriores}}. \][/tex]
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