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Sagot :
Vamos a abordar los límites dados uno por uno y determinar sus valores basándonos en los puntos específicos en los que se da el límite. Vamos a definir y analizar cada uno de los límites en el dominio de la función [tex]\( f(x) \)[/tex]:
(a) [tex]\(\lim_{x \to -1^+} f(x)\)[/tex]:
Este es el límite de la función cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\(-1\)[/tex] desde la derecha ([tex]\(+\)[/tex]). En este caso, el límite no está definido, así que el resultado es:
[tex]\[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(b) [tex]\(\lim_{x \to 0^-} f(x)\)[/tex]:
Este es el límite de la función cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 0 \)[/tex] desde la izquierda ([tex]\(-\)[/tex]). Nuevamente, este límite tampoco está definido, así que el resultado es:
[tex]\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(c) [tex]\(\lim_{\Delta \to 0^+} f(x)\)[/tex]:
Dado que estamos considerando [tex]\(\Delta\)[/tex] que tiende a 0 desde el lado positivo ([tex]\(+\)[/tex]), y en este contexto, este límite está indefinido:
[tex]\[ \lim_{\Delta \to 0^+} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(d) [tex]\(\lim_{x \to 0} f(x)\)[/tex]:
Este es el límite cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 0 \)[/tex] sin considerar la dirección. Este límite también está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 0} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(e) [tex]\(\lim_{x \to 2^-} f(x)\)[/tex]:
Aquí, [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 2 \)[/tex] desde la izquierda ([tex]\(-\)[/tex]). Este límite está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(f) [tex]\(\lim_{x \to 2^+} f(x)\)[/tex]:
En este caso, [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 2 \)[/tex] desde la derecha ([tex]\(+\)[/tex]). Nuevamente, este límite está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(g) [tex]\(\lim_{x \to 2} f(x)\)[/tex]:
Este es el límite cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 2 \)[/tex] sin considerar la dirección. También está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(h) [tex]\(\lim_{x \to 3^-} f(x)\)[/tex]:
Aquí, [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 3 \)[/tex] desde la izquierda ([tex]\(-\)[/tex]). Este límite está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 3^-} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(i) [tex]\(\lim_{x \to 3^+} f(x)\)[/tex]:
En este caso, [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 3 \)[/tex] desde la derecha ([tex]\(+\)[/tex]). Nuevamente, este límite está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 3^+} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(j) [tex]\(\lim_{x \to 3} f(x)\)[/tex]:
Este es el límite cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 3 \)[/tex] sin considerar la dirección. También está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 3} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(k) [tex]\(\lim_{x \to 5^-} f(x)\)[/tex]:
Finalmente, tenemos el límite cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 5 \)[/tex] desde la izquierda ([tex]\(-\)[/tex]). Este límite igualmente está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 5^-} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(a) [tex]\(\lim_{x \to -1^+} f(x)\)[/tex]:
Este es el límite de la función cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\(-1\)[/tex] desde la derecha ([tex]\(+\)[/tex]). En este caso, el límite no está definido, así que el resultado es:
[tex]\[ \lim_{x \to -1^+} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(b) [tex]\(\lim_{x \to 0^-} f(x)\)[/tex]:
Este es el límite de la función cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 0 \)[/tex] desde la izquierda ([tex]\(-\)[/tex]). Nuevamente, este límite tampoco está definido, así que el resultado es:
[tex]\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(c) [tex]\(\lim_{\Delta \to 0^+} f(x)\)[/tex]:
Dado que estamos considerando [tex]\(\Delta\)[/tex] que tiende a 0 desde el lado positivo ([tex]\(+\)[/tex]), y en este contexto, este límite está indefinido:
[tex]\[ \lim_{\Delta \to 0^+} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(d) [tex]\(\lim_{x \to 0} f(x)\)[/tex]:
Este es el límite cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 0 \)[/tex] sin considerar la dirección. Este límite también está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 0} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(e) [tex]\(\lim_{x \to 2^-} f(x)\)[/tex]:
Aquí, [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 2 \)[/tex] desde la izquierda ([tex]\(-\)[/tex]). Este límite está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(f) [tex]\(\lim_{x \to 2^+} f(x)\)[/tex]:
En este caso, [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 2 \)[/tex] desde la derecha ([tex]\(+\)[/tex]). Nuevamente, este límite está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(g) [tex]\(\lim_{x \to 2} f(x)\)[/tex]:
Este es el límite cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 2 \)[/tex] sin considerar la dirección. También está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 2} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(h) [tex]\(\lim_{x \to 3^-} f(x)\)[/tex]:
Aquí, [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 3 \)[/tex] desde la izquierda ([tex]\(-\)[/tex]). Este límite está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 3^-} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(i) [tex]\(\lim_{x \to 3^+} f(x)\)[/tex]:
En este caso, [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 3 \)[/tex] desde la derecha ([tex]\(+\)[/tex]). Nuevamente, este límite está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 3^+} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(j) [tex]\(\lim_{x \to 3} f(x)\)[/tex]:
Este es el límite cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 3 \)[/tex] sin considerar la dirección. También está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 3} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
(k) [tex]\(\lim_{x \to 5^-} f(x)\)[/tex]:
Finalmente, tenemos el límite cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a [tex]\( 5 \)[/tex] desde la izquierda ([tex]\(-\)[/tex]). Este límite igualmente está indefinido:
[tex]\[ \lim_{x \to 5^-} f(x) = \text{indefinido} \][/tex]
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