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Sagot :
Vamos a resolver el problema paso a paso para graficar el sistema de ecuaciones en un plano cartesiano y encontrar el punto donde se cruzan.
### Paso 1: Reescribir las ecuaciones
Tenemos las siguientes ecuaciones:
1. [tex]\( X + Y = 8 \)[/tex]
2. [tex]\( X - Y = 4 \)[/tex]
Reescribimos ambas ecuaciones para despejar [tex]\( Y \)[/tex]:
Para la Ecuación 1:
[tex]\[ X + Y = 8 \][/tex]
[tex]\[ Y = 8 - X \][/tex]
Para la Ecuación 2:
[tex]\[ X - Y = 4 \][/tex]
[tex]\[ Y = X - 4 \][/tex]
### Paso 2: Completar las tablas de valores
#### Para la Ecuación 1: [tex]\( Y = 8 - X \)[/tex]
Calculamos los valores de [tex]\( Y \)[/tex] para diferentes valores de [tex]\( X \)[/tex]:
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline Y & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 \\ \hline \end{array} \][/tex]
Ejemplos de cálculo:
- Para [tex]\( X = 1 \)[/tex]: [tex]\( Y = 8 - 1 = 7 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 2 \)[/tex]: [tex]\( Y = 8 - 2 = 6 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 3 \)[/tex]: [tex]\( Y = 8 - 3 = 5 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 4 \)[/tex]: [tex]\( Y = 8 - 4 = 4 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 5 \)[/tex]: [tex]\( Y = 8 - 5 = 3 \)[/tex]
#### Para la Ecuación 2: [tex]\( Y = X - 4 \)[/tex]
Calculamos los valores de [tex]\( Y \)[/tex] para diferentes valores de [tex]\( X \)[/tex]:
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline Y & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \][/tex]
Ejemplos de cálculo:
- Para [tex]\( X = 1 \)[/tex]: [tex]\( Y = 1 - 4 = -3 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 2 \)[/tex]: [tex]\( Y = 2 - 4 = -2 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 3 \)[/tex]: [tex]\( Y = 3 - 4 = -1 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 4 \)[/tex]: [tex]\( Y = 4 - 4 = 0 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 5 \)[/tex]: [tex]\( Y = 5 - 4 = 1 \)[/tex]
### Paso 3: Graficar las ecuaciones
Ahora, graficamos ambas tablas de valores en un plano cartesiano:
1. Para la Ecuación 1 ([tex]\( Y = 8 - X \)[/tex]): gráfica con puntos (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3).
2. Para la Ecuación 2 ([tex]\( Y = X - 4 \)[/tex]): gráfica con puntos (1, -3), (2, -2), (3, -1), (4, 0), (5, 1).
### Paso 4: Encontrar el punto de intersección
Observando las gráficas, encontramos el punto común de intersección, que es la solución del sistema de ecuaciones. El punto de intersección de las dos líneas es el punto donde sus valores coinciden para el mismo [tex]\( X \)[/tex].
En este caso, para los valores de [tex]\( X \)[/tex] proporcionados, no hay intersección en los rangos [tex]\( [1, 2, 3, 4, 5] \)[/tex]. Sin embargo, si continuamos graficando más valores, veremos que las dos líneas se cruzan en el punto [tex]\( (6, 2) \)[/tex], que no está en la tabla proporcionada, lo cual indica que probablemente se cruzan fuera del rango dado.
Por lo tanto, el punto de intersección es:
[tex]\[ X = 6, Y = 2 \][/tex]
Resultado final:
- El sistema de ecuaciones se resuelve en el punto [tex]\( (6, 2) \)[/tex].
### Paso 1: Reescribir las ecuaciones
Tenemos las siguientes ecuaciones:
1. [tex]\( X + Y = 8 \)[/tex]
2. [tex]\( X - Y = 4 \)[/tex]
Reescribimos ambas ecuaciones para despejar [tex]\( Y \)[/tex]:
Para la Ecuación 1:
[tex]\[ X + Y = 8 \][/tex]
[tex]\[ Y = 8 - X \][/tex]
Para la Ecuación 2:
[tex]\[ X - Y = 4 \][/tex]
[tex]\[ Y = X - 4 \][/tex]
### Paso 2: Completar las tablas de valores
#### Para la Ecuación 1: [tex]\( Y = 8 - X \)[/tex]
Calculamos los valores de [tex]\( Y \)[/tex] para diferentes valores de [tex]\( X \)[/tex]:
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline Y & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 \\ \hline \end{array} \][/tex]
Ejemplos de cálculo:
- Para [tex]\( X = 1 \)[/tex]: [tex]\( Y = 8 - 1 = 7 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 2 \)[/tex]: [tex]\( Y = 8 - 2 = 6 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 3 \)[/tex]: [tex]\( Y = 8 - 3 = 5 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 4 \)[/tex]: [tex]\( Y = 8 - 4 = 4 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 5 \)[/tex]: [tex]\( Y = 8 - 5 = 3 \)[/tex]
#### Para la Ecuación 2: [tex]\( Y = X - 4 \)[/tex]
Calculamos los valores de [tex]\( Y \)[/tex] para diferentes valores de [tex]\( X \)[/tex]:
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline Y & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \][/tex]
Ejemplos de cálculo:
- Para [tex]\( X = 1 \)[/tex]: [tex]\( Y = 1 - 4 = -3 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 2 \)[/tex]: [tex]\( Y = 2 - 4 = -2 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 3 \)[/tex]: [tex]\( Y = 3 - 4 = -1 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 4 \)[/tex]: [tex]\( Y = 4 - 4 = 0 \)[/tex]
- Para [tex]\( X = 5 \)[/tex]: [tex]\( Y = 5 - 4 = 1 \)[/tex]
### Paso 3: Graficar las ecuaciones
Ahora, graficamos ambas tablas de valores en un plano cartesiano:
1. Para la Ecuación 1 ([tex]\( Y = 8 - X \)[/tex]): gráfica con puntos (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3).
2. Para la Ecuación 2 ([tex]\( Y = X - 4 \)[/tex]): gráfica con puntos (1, -3), (2, -2), (3, -1), (4, 0), (5, 1).
### Paso 4: Encontrar el punto de intersección
Observando las gráficas, encontramos el punto común de intersección, que es la solución del sistema de ecuaciones. El punto de intersección de las dos líneas es el punto donde sus valores coinciden para el mismo [tex]\( X \)[/tex].
En este caso, para los valores de [tex]\( X \)[/tex] proporcionados, no hay intersección en los rangos [tex]\( [1, 2, 3, 4, 5] \)[/tex]. Sin embargo, si continuamos graficando más valores, veremos que las dos líneas se cruzan en el punto [tex]\( (6, 2) \)[/tex], que no está en la tabla proporcionada, lo cual indica que probablemente se cruzan fuera del rango dado.
Por lo tanto, el punto de intersección es:
[tex]\[ X = 6, Y = 2 \][/tex]
Resultado final:
- El sistema de ecuaciones se resuelve en el punto [tex]\( (6, 2) \)[/tex].
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