Для того чтобы найти сумму корней уравнения [tex]\( x^{x^2 - 5x + 6} = 1 \)[/tex], давайте рассмотрим различные случаи, при которых данное уравнение выполняется.
### Рассмотрим следующие случаи:
#### 1. Основание степени равно 1:
Для любых значений показателя степени, 1 в любой степени будет всегда равно 1. Таким образом, если [tex]\( x = 1 \)[/tex], уравнение выполнено:
[tex]\[ 1^{(1^2 - 5 \cd 1 + 6)} = 1^{(1 - 5 + 6)} = 1^2 = 1 \][/tex]
Так, [tex]\( x = 1 \)[/tex] является корнем.
#### 2. Показатель равен 0:
Любое число в нулевой степени равно 1. Таким образом, необходимо решить уравнение:
[tex]\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \][/tex]
Решим квадратное уравнение. Выразим [tex]\( x \)[/tex] через его корни:
Это уравнение можно разложить на множители:
[tex]\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \][/tex]
Мы получаем два корня:
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \][/tex]
### Итоговое решение:
Мы нашли три значения [tex]\( x \)[/tex], которые удовлетворяют исходному уравнению:
[tex]\[ x = 1, x = 2, x = 3 \][/tex]
Суммируем все найденные корни:
[tex]\[ 1 + 2 + 3 = 6 \][/tex]
Таким образом, сумма всех корней уравнения [tex]\( x^{x^2 - 5x + 6} = 1 \)[/tex] равна [tex]\( \boxed{6} \)[/tex].
